計量経済学のためのTeX数式チートシート
R Markdownで数式を書くための基本
専門英語講読A（小林流基）
2026-04-15
1 はじめに
このドキュメントは、R
Markdownで計量経済学の数式を書くために必要なTeX記法をまとめたものです。
このファイル自体が .Rmd
ファイルなので、ソースコードを見ながら「どう書けばどう表示されるか」を確認できます。
★ 数式の表示がおかしいとき：RStudio のプレビュー画面では
\hatや\barの位置がずれたり、表の中の数式がコードのように見えることがあります。これは RStudio 内蔵ビューアーの既知の問題です。Knit した HTML ファイルをブラウザ（Chrome 等）で直接開けば正しく表示されます。
1.1 数式の書き方（基本）
R Markdownでは、TeX（LaTeX）の記法を使って数式を挿入できます。
- インライン数式：文中に数式を埋め込むには、
$で囲みます。- 例：
$Y = \beta_0 + \beta_1 X$→ \(Y = \beta_0 + \beta_1 X\)
- 例：
- 別行立て数式：独立した行に数式を表示するには、
$$で囲みます。
$$
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i
$$\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \]
2 ギリシャ文字
計量経済学でよく使うギリシャ文字の一覧です。
| 表示 | 記法 | 用途の例 |
|---|---|---|
| \(\alpha\) | \alpha |
有意水準、定数 |
| \(\beta\) | \beta |
回帰係数 |
| \(\gamma\) | \gamma |
パラメータ |
| \(\delta\) | \delta |
差分、処置効果 |
| \(\varepsilon\) | \varepsilon |
誤差項 |
| \(\epsilon\) | \epsilon |
誤差項（別の書体） |
| \(\eta\) | \eta |
弾力性 |
| \(\theta\) | \theta |
パラメータ |
| \(\lambda\) | \lambda |
ラグランジュ乗数 |
| \(\mu\) | \mu |
平均、期待値 |
| \(\nu\) | \nu |
自由度 |
| \(\pi\) | \pi |
確率、操作変数の第1段階係数 |
| \(\rho\) | \rho |
相関係数、自己相関 |
| \(\sigma\) | \sigma |
標準偏差 |
| \(\tau\) | \tau |
処置効果 |
| \(\phi\) | \phi |
標準正規分布の密度関数 |
| \(\chi\) | \chi |
カイ二乗分布 |
| \(\omega\) | \omega |
重み |
大文字のギリシャ文字（先頭を大文字にする）：
| 表示 | 記法 | 用途の例 |
|---|---|---|
| \(\Delta\) | \Delta |
変化量（差分） |
| \(\Sigma\) | \Sigma |
総和、分散共分散行列 |
| \(\Phi\) | \Phi |
標準正規分布の累積分布関数 |
| \(\Omega\) | \Omega |
分散共分散行列 |
3 上付き・下付き文字
| 表示 | 記法 | 説明 |
|---|---|---|
| \(X^2\) | X^2 |
上付き（1文字） |
| \(X^{10}\) | X^{10} |
上付き（2文字以上は {} で囲む） |
| \(X_i\) | X_i |
下付き（1文字） |
| \(X_{it}\) | X_{it} |
下付き（2文字以上は {} で囲む） |
| \(\beta_1\) | \beta_1 |
回帰係数 |
| \(\hat{\beta}_1\) | \hat{\beta}_1 |
OLS推定量 |
| \(X_i^2\) | X_i^2 |
上付きと下付きの組み合わせ |
4 回帰モデルの表記
4.1 単回帰モデル
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i \]
$$
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i
$$4.2 重回帰モデル
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i \]
$$
Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i
$$4.3 推定値（ハット表記）
\[ \hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i \]
$$
\hat{Y}_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_i
$$4.4 残差
\[ \hat{u}_i = Y_i - \hat{Y}_i \]
4.5 対数モデル
回帰分析では、変数を対数変換することがよくあります。\log
または \ln を使います。
\[ \log(Y_i) = \beta_0 + \beta_1 \log(X_i) + \varepsilon_i \]
$$
\log(Y_i) = \beta_0 + \beta_1 \log(X_i) + \varepsilon_i
$$| モデル | 式 | \(\beta_1\) の解釈 |
|---|---|---|
| Level-Level | \(Y = \beta_0 + \beta_1 X\) | \(X\) が1単位増 → \(Y\) が \(\beta_1\) 増 |
| Log-Level | \(\log(Y) = \beta_0 + \beta_1 X\) | \(X\) が1単位増 → \(Y\) が約 \(100\beta_1\)% 増 |
| Level-Log | \(Y = \beta_0 + \beta_1 \log(X)\) | \(X\) が1%増 → \(Y\) が約 \(\beta_1/100\) 増 |
| Log-Log | \(\log(Y) = \beta_0 + \beta_1 \log(X)\) | \(X\) が1%増 → \(Y\) が約 \(\beta_1\)% 増 |
4.6 行列表記
\[ \mathbf{Y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon} \]
$$
\mathbf{Y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}
$$ベクトルや行列の太字には \mathbf{} （ローマン体）または
\boldsymbol{} （ギリシャ文字）を使います。
5 分数・ルート・ドット
| 表示 | 記法 | 説明 |
|---|---|---|
| \(\frac{a}{b}\) | \frac{a}{b} |
分数 |
| \(\frac{\partial Y}{\partial X}\) | \frac{\partial Y}{\partial X} |
偏微分 |
| \(\sqrt{n}\) | \sqrt{n} |
平方根 |
| \(\cdots\) | \cdots |
横の省略記号 |
| \(\vdots\) | \vdots |
縦の省略記号 |
| \(\bar{X}\) | \bar{X} |
標本平均 |
| \(\tilde{\beta}\) | \tilde{\beta} |
チルダ |
| \(\overline{Y}\) | \overline{Y} |
上線（長め） |
6 総和・積分
\[ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \]
$$
\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i
$$\[ \hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} \]
$$
\hat{\beta}_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}
$$積分は \int を使います。上限・下限は総和と同じく
^ と _ で指定します。
\[ \widehat{\delta}_{ATE} = \int \left( E[Y \mid X, D=1] - E[Y \mid X, D=0] \right) d\Pr(X) \]
$$
\widehat{\delta}_{ATE} = \int \left( E[Y \mid X, D=1] - E[Y \mid X, D=0] \right) d\Pr(X)
$$定積分の例：
\[ \int_0^1 f(x) \, dx \]
$$
\int_0^1 f(x) \, dx
$$\, は積分記号と \(dx\)
の間に小さなスペースを入れるための記法です。
7 期待値・分散・共分散
| 表示 | 記法 |
|---|---|
| \(E[Y]\) | E[Y] |
| \(E[Y \mid X]\) | E[Y \mid X] |
| \(\text{Var}(X)\) | \text{Var}(X) |
| \(\text{Cov}(X, Y)\) | \text{Cov}(X, Y) |
| \(\text{Corr}(X, Y)\) | \text{Corr}(X, Y) |
| \(\text{plim}\) | \text{plim} |
\text{}
を使うと、数式中でも立体（ローマン体）で表示されます。 これを使わないと
\(Var(X)\)
のように斜体になり、変数の積のように見えてしまいます。
8 等号・不等号・近似
| 表示 | 記法 | 意味 |
|---|---|---|
| \(=\) | = |
等号 |
| \(\neq\) | \neq |
不等号 |
| \(\approx\) | \approx |
近似 |
| \(\equiv\) | \equiv |
定義、恒等式 |
| \(\leq\) | \leq |
以下 |
| \(\geq\) | \geq |
以上 |
| \(<\) | < |
未満 |
| \(>\) | > |
超過 |
| \(\sim\) | \sim |
分布に従う |
| \(\propto\) | \propto |
比例する |
9 矢印（DAG・因果ダイアグラム）
因果ダイアグラム（DAG）のパスを文中で表記するときに使います。
| 表示 | 記法 | 用途 |
|---|---|---|
| \(\rightarrow\) | \rightarrow |
因果の方向（\(X \rightarrow Y\)） |
| \(\leftarrow\) | \leftarrow |
バックドアパス（\(X \leftarrow Z \rightarrow Y\)） |
例：バックドアパスの表記
\[ D \leftarrow Z \rightarrow Y \]
$$
D \leftarrow Z \rightarrow Y
$$10 確率・分布
正規分布に従う：
\[ \varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2) \]
$$
\varepsilon_i \sim N(0, \sigma^2)
$$漸近正規性：
\[ \sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) \xrightarrow{d} N(0, V) \]
$$
\sqrt{n}(\hat{\beta} - \beta) \xrightarrow{d} N(0, V)
$$確率収束：
\[ \hat{\beta} \xrightarrow{p} \beta \]
$$
\hat{\beta} \xrightarrow{p} \beta
$$11 因果推論の表記
11.1 ポテンシャルアウトカム
\[ Y_i = D_i \cdot Y_i(1) + (1 - D_i) \cdot Y_i(0) \]
11.2 処置効果
| 表示 | 記法 | 意味 |
|---|---|---|
| \(\text{ATE}\) | \text{ATE} |
平均処置効果 |
| \(\text{ATT}\) | \text{ATT} |
処置群の平均処置効果 |
| \(\text{LATE}\) | \text{LATE} |
局所平均処置効果 |
\[ \text{ATE} = E[Y_i(1) - Y_i(0)] \]
\[ \text{ATT} = E[Y_i(1) - Y_i(0) \mid D_i = 1] \]
11.3 条件付き独立性（CIA）
\[ \{Y_i(0), Y_i(1)\} \perp D_i \mid X_i \]
$$
\{Y_i(0), Y_i(1)\} \perp D_i \mid X_i
$$\perp は独立を表す記号（\(\perp\)）です。
二重の独立記号（\(\perp\!\!\!\perp\)）を使うこともあります：
\[ \{Y_i(0), Y_i(1)\} \perp\!\!\!\perp D_i \mid X_i \]
$$
\{Y_i(0), Y_i(1)\} \perp\!\!\!\perp D_i \mid X_i
$$\perp\!\!\!\perp
で二重の独立記号になります。\!
は負のスペース（文字を詰める）です。
12 括弧の調整
数式が大きい場合、\left と \right
を使うと括弧のサイズが自動調整されます。
調整なし：
\[ (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i) \]
調整あり（\left( … \right)
を使用）：
\[ \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) \]
$$
\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right)
$$絶対値も \left| と \right|
で自動調整できます：
\[ \left| \bar{X} - \mu \right| \]
$$
\left| \bar{X} - \mu \right|
$$13 複数行の数式（aligned 環境）
等号の位置を揃えて複数行に書くには、aligned
環境を使います。
\[ \begin{aligned} \hat{\beta}_1 &= \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(X)} \\ &= \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} \end{aligned} \]
$$
\begin{aligned}
\hat{\beta}_1 &= \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\text{Var}(X)} \\
&= \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2}
\end{aligned}
$$& は揃える位置、\\
は改行を意味します。
14 場合分け（cases 環境）
\[ D_i = \begin{cases} 1 & \text{if treated} \\ 0 & \text{if control} \end{cases} \]
$$
D_i = \begin{cases}
1 & \text{if treated} \\
0 & \text{if control}
\end{cases}
$$15 Rコードチャンクの書き方
R Markdownでは、以下のようにRのコードを埋め込むことができます。
```{r}
# ここにRコードを書く
x <- rnorm(100)
mean(x)
```実行例：
# 標本平均を計算する
set.seed(42)
x <- rnorm(100, mean = 5, sd = 2)
mean(x)## [1] 5.06503グラフも表示できます：
par(family = my_font)
hist(x, main = "ヒストグラムの例", xlab = "値", col = "lightblue")
16 まとめ：よく使う記法 早見表
| やりたいことの例 | 記法 | 表示 |
|---|---|---|
| 回帰係数 | \beta_1 |
\(\beta_1\) |
| 推定値 | \hat{\beta}_1 |
\(\hat{\beta}_1\) |
| 誤差項 | \varepsilon_i |
\(\varepsilon_i\) |
| 標本平均 | \bar{X} |
\(\bar{X}\) |
| 分数 | \frac{a}{b} |
\(\frac{a}{b}\) |
| 総和 | \sum_{i=1}^{n} |
\(\sum_{i=1}^{n}\) |
| 期待値 | E[Y \mid X] |
\(E[Y \mid X]\) |
| 分散 | \text{Var}(X) |
\(\text{Var}(X)\) |
| 正規分布 | N(\mu, \sigma^2) |
\(N(\mu, \sigma^2)\) |
| 分布に従う | \sim |
\(\sim\) |
| 独立 | \perp |
\(\perp\) |
| 括弧調整 | \left( \right) |
\(\left(\frac{a}{b}\right)\) |
| 太字ベクトル | \mathbf{X} |
\(\mathbf{X}\) |
| 偏微分 | \frac{\partial Y}{\partial X} |
\(\frac{\partial Y}{\partial X}\) |
| 因果の矢印 | \rightarrow |
\(\rightarrow\) |
| バックドア | \leftarrow |
\(\leftarrow\) |
| 対数 | \log(Y) |
\(\log(Y)\) |
| 独立（二重） | \perp\!\!\!\perp |
\(\perp\!\!\!\perp\) |
| 積分 | \int_0^1 f(x) \, dx |
\(\int_0^1 f(x) \, dx\) |
| 絶対値 | \left| x \right| |
\(\left| x \right|\) |
17 参考情報
- R Markdown 公式ドキュメント: rmarkdown.rstudio.com
- R Markdown: The Definitive Guide（Xie, Allaire, Grolemund）: bookdown.org/yihui/rmarkdown
- R Markdown 入門（前田和寛 [@kazutan]）: kazutan.github.io/kazutanR/Rmd_intro.html
- R Markdown 入門（宋財泫 [Song Jaehyun]）: www.jaysong.net/tutorial/R/rmarkdown_intro.html
- 私たちのR（宋財泫・矢内勇生）: www.jaysong.net/RBook — R 全般の日本語入門書。Quarto の解説もあり